线性方程组的解

$n$ 个未知数， $m$ 个方程联立为线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{cases} \sim A x = b

写为增广矩阵的形式：

\begin{array}{r} (A, b) = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & | & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & | & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & | & b_{m} \end{array}) \end{array}

对于 $n$ 元线性方程组 $A x = b$ ，对增广矩阵 $(A, b)$ 施加初等行变换变为行最简形矩阵，得到与原方程组通解的方程

无解的充分必要条件： $R (A) < R (A, b)$
有解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b)$
- 有唯一解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b) = n$
- 有无限多解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b) < n$

对于 $n$ 元线性方程组 $A x = 0$ ，直接对矩阵 $A$ 施加初等行变换变为行最简形矩阵，由于始终有 $R (A) = R (A, b)$ ，所以始终有解

注意可以将非独立的变量任意取值，以通解的形式表达无限多解